数学趣谈

*美国南方出版社让中文出版走向世界舞台* 

内容简介：你听说过泰勒斯吗？他在数学上有什么贡献？芝诺悖论赫赫有名，而它的来龙去脉你知道吗？

数学王子高斯生前有个愿望，就是要在自己的墓志铭上刻上正十七边形，但是这一要求被拒绝了，为什么？

本书由两部分组成：数学家的故事和有趣的数学问题。前者基本不需要任何数学基础，后者需要一定的逻辑推理能力。其中有些章节，如奇妙的无穷大世界和哥德尔不完备性定理，更要求对数学有一定的理解和追求以及较强的逻辑推理能力。

伟大的德国数学家高斯曾经说过：数学是科学的皇后。本书能帮助数学爱好者一窥科学皇后的奇妙境界。

前言

有位朋友读了手稿，问:你心目中的读者是谁?

这是一个非常重要的问题。是呀，写书的目的是传递信息。既然是传递信息，就必然要考虑接受信息的对象。但说实话，我一开始并没有认真想过这个问题。

我心目中的读者是谁?理想中的读者应具备以下几个条件:

第一，对数学有一定的兴趣。虽然本书的目的就是为了提高读者对数学的兴趣，这是对有兴趣了解数学的读者而言。

第二，对数学证明和简单逻辑有大致的了解。比如能够看懂简单的数学证明和逻辑推理。

第三，最好有一些高等数学的知识，如微积分，初等概率论。

满足这些条件，就能够比较轻松地阅读这本书了。本书由两部分组成:数学家的故事和有趣的数学问题。前者基本不需要任何数学基础，后者需要一定的逻辑推理能力。其中有些章节，如奇妙的无穷大世界和哥德尔不完备性定理，更要求对数学有一定的理解和追求以及

较强的逻辑推理能力。

伟大的德国数学家高斯曾经说过:数学是科学的皇后。希望本书能帮助数学爱好者一窥科学皇后的奇妙境界。

序

过去，我不认识《数学趣谈》的作者卢小云。我的大学同学杨先生把《数学趣谈》书稿寄给我，看后，我被该书深深地吸引了。

后来，我对卢小云有了大致的了解:他博学多才，既是数学博士，在国际数学期刊已发表二十余篇论文;又是文学创作者，著有《幸福童年》等作品。他的作品文笔流畅，主题鲜明，善于抓住要点，简明扼要;但又调侃风趣，常常引人捧腹而笑，有时又令人扼腕叹息。对数学本身，他有深厚的功底(如前所说，已发表二十余篇论文)。对数学史，他也下了一番功夫，捕捉到了一些不为常人知晓的有关逸闻趣事，并放在《数学趣谈》一书中奉献给读者。

《数学趣谈》分为两部分，或者说《数学趣谈》具有两个主题。

第一部分(第一个主题)，介绍了一些著名数学家的具有鲜明特点的“点滴”。有别于传统人物传记的写法，作者没有洋洋洒洒全面系统地考证人物(那是历史学家的任务)，而是通过一件事，一则趣闻或是一个问题，采用讲“故事”的方式，将每个人物的特点从不同的侧面挖掘出来，然后展现给读者。虽然在读者面前的是一些零零碎碎的“点滴”，但她实则是有骨有肉的生活，是一个个活灵活现的人物。正因为这些晶莹透亮的点滴，免除了读者长篇翻读的累赘就可以轻松自然地进入栩栩如生的“意境”。使人读来是那么的亲切那么的生动。不是吗?我想，这就是作者的初衷之一吧。

走进第一部分，看看作者到底讲了些什么:你听说过泰勒斯吗?他在数学上有什么贡献?

毕达哥拉斯你也许知道，他与勾股定理有密切关系，同时还与有理数有关，这又是咋回事?说到无理数，欧多克索斯可填了一个大坑。

芝诺悖论赫赫有名，而它的来龙去脉你知道吗?

亚历山大不是数学家，却是“分水岭”，这就奇怪了。

阿基米德，耳熟能详，他的故事你知道多少?计算过π的近似值的人很多，阿波罗尼乌斯呢?

说到中国古代的数学家，就不得不提到三国时期的赵爽，魏晋时期的刘徽以及南北朝时期的祖冲之了，他们的“八卦”故事同样精彩。

独孤九剑剑术，一剑封喉，尼科洛·塔尔塔利亚威名远扬。

数学家、医生卡尔达诺还会占星术、算命，结果他亡于自己的算命，悲哉乎!

笛卡尔名声太盛而死于名声，不可思议。

费尔马有很多猜想和定理，其中一个:如果P=4k+1是素数，它就能表示成两个整数的平方和，并且表示方式是唯一的。证明过程，你能欣赏吗?

帕斯卡兼数学家、物理学家、化学家、发明家、哲学家、神学家、音乐家、教育家、气象学家于一身。他的文字优美流畅，还是一个出色的作家。唉，什么样的人哟，身占这么多“位置”，不怕别人失业!

苹果落下砸出万有引力定律的牛顿，几乎人尽能详，他与莱布尼茨的“微积分”之争，杀得浑天暗地，结果不分胜负。

伯努利家族是数学史上最伟大的家族，曾经在连续三代当中产生了八位数学家，其中三位声名远扬，最为著名的就是伯努利兄弟。

最多产的数学家一欧拉，“他是所有人的老师”(拉普拉斯语)，“巴塞尔问题”和“柯尼斯堡七桥问题”还记得吗?

数学王子高斯生前有个愿望，就是要在自己的墓志铭上刻上正十七边形，那是他钟爱的结果之一。这一要求被拒绝了，因为雕刻的石匠觉得难度太大，担心刻出的不是正十七边形，而是一个圆。

“阿贝尔留下的问题足以让数学家们忙活五百年”的阿贝尔，生前成就没有得到认可，生活非常贫困，死后两天才得到教授聘书。

为爱情而决斗，数学家伽罗瓦也不能幸免，一个数学天才，就这样绝尘而去。

朱利叶斯·威廉·理查德·戴德金，高斯的关门弟子，名字有点长，还是叫戴德金吧。不过一定要把“戴德金”和“戴德金分割”这两个名词区分开来。一个是人，一个吗，读者看书慢慢理解吧。

当然，伟大而著名的数学家远远不只上面提到的这些(缺了柯西?)。这不，书中还介绍了柏林大学的数学家们。但是，你别误会，以为第一部分就到此结束了。其实，紧随其后的还有康托尔，他可是集合论的鼻祖，以他作为第一部分的结尾，倒也合理。这就是《数学趣谈》的第一部分(第一个主题)一“数学家的故事”。

怎么样，故事好听吗?

下面进入《数学趣谈》的第二部分(第二个主题)，也就是“有趣的数学问题”。

这个主题，在第一部分包含了一些，但主要还是在第二部分中。因此，下面就第二部分的“有趣问题”而有趣一下。

这部分内容的“程度”大多数相当于一般“科普”的知识水平，但有些问题却要深很多，需要一些“高等数学”储备，并且有点“烧脑”。但读者只要耐住性子读下去，理解这部分内容也应该不成问题。

这些“有趣问题”按其内容大致分为五组。当然，这种分组是相当粗略的，因为许多有趣问题同时包含了好几种数学思想，简单地把它们划入某一组，显然不合理。但为了叙述方便，只好如此了。

这五组分别是:1.数学悖论及完备性(二十六，二十七章)2.无穷大问题(二十八，二十九章)3.逻辑推理(三十章)4.中国剩余定理(三十二章)5.概率统计(三十一，三十三，三十四章)。为了读者能顺利，轻松读完这五组问题，下面作一些“铺垫”。

1.数学悖论及完备性

数学中有许多悖论。《数学趣谈》一书介绍了著名的几个，如“说谎者悖论”及其变种“卡片悖论”，“康托尔悖论”，“罗素悖论”，以及在第一部分提到的二分法悖论，阿喀琉斯悖论，飞矢悖论，运动场悖论等等。

什么是数学悖论?数学悖论就是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾。这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

至今，数学史上发生过“三次数学危机”，每次数学危机都是由“数学悖论”引起的。看看“数学悖论”多么“厉害”!

要深刻理解“数学悖论”，一定要结合“哲学”，因为数学中蕴含了许多深刻的哲学思想。数学家Demollins曾说“没有数学，我们无法看透哲学的深度;没有哲学，人们也无法看透数学的深度;而没有两者，人们什么也看不透。”

在这些数学悖论中罗素悖论影响最为深远。

1903年，一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的。这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论产生了危机。

为了应对罗素悖论产生的危机，当时形成了三个有名的数学学派:逻辑学派，直观主义学派和形式主义学派。德国数学家希尔伯特是形式主义学派的领军人物。形式主义学派希望能建立一套数学公理体系，使得该体系既完备又“自洽”。

所谓“自洽”，就是无矛盾:系统不可能产生相互矛盾的结果。这是任何数学公理体系的基础和底线。

何为完备?完备就是要求在该系统中一个命题为真当且仅当该命题能够在系统中得到证明。

哥德尔不完备性定理给了形式主义学派致命的一击:任何公理体系，只要足够复杂，就不可能既完备又自洽。换句话说，如要保证自洽，就一定存在某些真命题但永远无法得到证明。

小小数学，玄机多多。

读者在《数学趣谈》一书中还可以了解到:哥德尔命题，形式系统，哥德尔数以及利用这些知识来证明不动点的一个引理，结果是那么精简漂亮!

2.无穷大问题

要看懂这部分内容，我们需要一点“集合”的知识。(1)有限集，无限集和子集

若集A的元素只有有限个，则称集A为有限集。不含任何元素的集称为空集。一个非空集如果不是有限集，就称为无限集。设A和B是两个集，若A的每个元素同时也是B的元素，则称A是B的子集。

(2) 一一映射

映射:设A和B是两个集，A非空集，若依规则f，对于A中的每个元素x，在B中都有唯一确定的元素 y与之对应，则称f是A到B的映射,记为f:A →B; y 称为 x 的象,记为f(x);A称为映射f的定义域;集合{f(x)|x ∈ A} 称为映射f的值域。满射:映射f:A→B的值域f(A)= B，则f是满射。单射:映射f:A→ B使每个y ∈ f (A)仅有唯一的x∈A满足f (x)=y，则f是单射。一一映射:映射f:A→B既是满射又是单射，就称f是A到B的一一映射(一一对应)。

(3)集合的对等

设A和B是两个集，若存在A到B的某个一一映射，就称A与B对等。

(4)可列集(可数集)，不可列集

与自然数集N对等的集称为可列集(可数集)。一个集是可列集当且仅当它的所有元素可排成一个无穷序列。

不是可列集的无限集称为不可列集(不可数集)。

(5)集合的基数(集合的基数理论是集合论中最重要的内容之一)。

把所有的集合按如下规则划分成若干类:对每个集合A，把与A对等的所有集合作为一类，不与A对等的集合不属于这一类。这样就得到许多不同的类。任何一个集合必然属于某一类，并且任何一个集合决不会同时属于不同的两类。

这样分类后，同一类的各集合具有同样多个元素，而不属于同一类的两个集合不具有同样多个元素。

对每一类集合我们规定一个专用符号(不同的两类集合规定不同的符号)，我们说这一类中的每一个集合都具有“此符号所表示的那么多”个元素，称此符号是这一类集合的基数。基数常用希伯来字母阿列夫加右下角标来表示，如自然数集的基数为Ñ0，读为阿列夫零，意即自然数集有Ñ0个元素。

作者简介：卢小云，出生于江西鹰潭,先后毕业于江西冶金学院，中国科学院应用数学研究所以及美国新泽西州的Rutgers大学,分别获得数学专业的学士,硕士和博士学位。在国际数学刊物发表学术论文二十余篇。作者现居住在美国的弗吉尼亚州。

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美国南方出版社简介：

“圆作者一个梦想，助作者美国出书”是美国南方出版社Dixie W Publishing Corporation,http://www.dwpcbooks.com/）的出版宗旨。美国南方出版社2006年在美国Alabama州注册成立，多年来为诸多作者出版图书，销售不断攀升，是美国出版界的后起之秀，现正逐渐为各界熟悉。

美国南方出版社所出版的图书通过自己的网站，美国最大连锁书店巴诺书店（Barnes& Noble），以及亚马逊（Amazon）等网上和实体书店在全球范围内发行。美国国会及各大地方图书馆均有收藏，美国南方出版社成功地把很多作者推向了更大更纷繁的世界舞台。